已知函数f（x）=x2+（b+1）x+1是定义在[a-2，a]上的偶函数，g（x）=f（x）+|x-t|，其中a，b，t均为常数．（1）求实数a，b的值；（2）试讨论函数y=g（x）的奇偶性；（3）若-12≤t≤12，求函数y=g（x

Question

已知函数f（x）=x²+（b+1）x+1是定义在[a-2，a]上的偶函数，g（x）=f（x）+|x-t|，其中a，b，t均为常数．
（1）求实数a，b的值；
（2）试讨论函数y=g（x）的奇偶性；
（3）若-(1)/(2)≤t≤(1)/(2)，求函数y=g（x）的最小值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=x²+（b+1）x+1是定义在[a-2，a]上的偶函数，
∴

a−2+a＝0

b+1＝0

，
解得

a＝1

b＝−1

．
（2）由（1）可得f（x）=x²+1
得g（x）=f（x）+|x-t|=x²+|x-t|+1，x∈[-1，1]．
当t=0时，函数y=g（x）为偶函数．）
当t≠0时，函数y=g（x）为非奇非偶函数．
（3）g（x）=f（x）+|x-t|=

x2+x−t+1，x≥t

x2−x+t+1，x＜t

，-(1)/(2)≤t≤(1)/(2)，
当x≥t时，函数y=g（x）在[-1，1]上单调递增，则g（x）≥g（t）=t²+1．
当x＜t时，函数y=g（x）在[-1，1]上单调递减，则g（x）＞g（t）=t²+1．
综上，函数y=g（x）的最小值为t²+1．