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已知函数f（x+1）是奇函数，f（x-1）是偶函数，且f（0）=2，则f（2012）=（）A.-2B.0C.2D.3
题目详情
已知函数f （x+1）是奇函数，f （x-1）是偶函数，且f （0）=2，则f （2012）=（ ）
A. -2
B. 0
C. 2
D. 3
A. -2
B. 0
C. 2
D. 3
▼优质解答
答案和解析
因为函数f（x+1）为奇函数
所以有：f（x+1）=-f（-x+1）
令t=x+1可得f（t）=-f（2-t）
∵函数f（x-1）是偶函数
∴f（x-1）=f（-x-1），令x-1=t，则可得，f（t）=f（-t-2）
∴f（-t-2）=-f（-t+2）
令-t-2=m，则f（m）=-f（m+4），f（m+8）=f（m）即函数以8为周期的周期函数
∴f（2012）=f（4）=-f（0）=-2
故选A
所以有：f（x+1）=-f（-x+1）
令t=x+1可得f（t）=-f（2-t）
∵函数f（x-1）是偶函数
∴f（x-1）=f（-x-1），令x-1=t，则可得，f（t）=f（-t-2）
∴f（-t-2）=-f（-t+2）
令-t-2=m，则f（m）=-f（m+4），f（m+8）=f（m）即函数以8为周期的周期函数
∴f（2012）=f（4）=-f（0）=-2
故选A
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