已知函数f(x)=log2(4^x+1)+kx,(k∈R)是偶函数1.求K的值2.设函数g(x)=log2(a×2^x-4/3a),其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点,求a的取值范围

Question

已知函数f(x)=log2(4^x+1)+kx,(k∈R)是偶函数
1.求K的值2.设函数g(x)=log2(a×2^x- 4/3 a),其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点,求a的取值范围

Answer 1

（1）∵函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数
∴f（-x）=log2（4-x+1）-kx=f（x）=log2（4x+1）+kx恒成立
即log2（4x+1）-2x-kx=log2（4x+1）+kx恒成立
解得k=-1
（2）∵a＞0
∴函数 g(x)=log2(a?2x-43a)的定义域为（ log243,+∞）
即满足 2x＞43
函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点,
∴方程log2（4x+1）-x= log2(a?2x-43a)在（ log243,+∞）有且只有一解
即：方程 4x+12x=a?2x-43a在 (log243,+∞)上只有一解
令2x=t,则 t＞43,因而等价于关于t的方程 (a-1)t2-43at-1=0（*）在 (43,+∞)上只有一解
当a=1时,解得 t=-34?(43,+∞),不合题意；
当0＜a＜1时,记 h(t)=(a-1)t2-43at-1,其图象的对称轴 t=2a3(a-1)＜0
∴函数 h(t)=(a-1)t2-43at-1在（0,+∞）上递减,而h（0）=-1
∴方程（*）在 (43,+∞)无解
当a＞1时,记 h(t)=(a-1)t2-43at-1,其图象的对称轴 t=2a3(a-1)＞0
所以,只需 h(43)＜0,即 169(a-1)-169a-1＜0,此恒成立
∴此时a的范围为a＞1
综上所述,所求a的取值范围为a＞1．