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已知函数f(x)=log2(4^x+1)+kx,(k∈R)是偶函数1.求K的值2.设函数g(x)=log2(a×2^x-4/3a),其中a>0.若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点,求a的取值范围
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已知函数f(x)=log2(4^x+1)+kx,(k∈R)是偶函数
1.求K的值2.设函数g(x)=log2(a×2^x- 4/3 a),其中a>0.若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点,求a的取值范围
1.求K的值2.设函数g(x)=log2(a×2^x- 4/3 a),其中a>0.若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点,求a的取值范围
▼优质解答
答案和解析
(1)∵函数f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数
∴f(-x)=log2(4-x+1)-kx=f(x)=log2(4x+1)+kx恒成立
即log2(4x+1)-2x-kx=log2(4x+1)+kx恒成立
解得k=-1
(2)∵a>0
∴函数 g(x)=log2(a?2x-43a)的定义域为( log243,+∞)
即满足 2x>43
函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点,
∴方程log2(4x+1)-x= log2(a?2x-43a)在( log243,+∞)有且只有一解
即:方程 4x+12x=a?2x-43a在 (log243,+∞)上只有一解
令2x=t,则 t>43,因而等价于关于t的方程 (a-1)t2-43at-1=0(*)在 (43,+∞)上只有一解
当a=1时,解得 t=-34?(43,+∞),不合题意;
当0<a<1时,记 h(t)=(a-1)t2-43at-1,其图象的对称轴 t=2a3(a-1)<0
∴函数 h(t)=(a-1)t2-43at-1在(0,+∞)上递减,而h(0)=-1
∴方程(*)在 (43,+∞)无解
当a>1时,记 h(t)=(a-1)t2-43at-1,其图象的对称轴 t=2a3(a-1)>0
所以,只需 h(43)<0,即 169(a-1)-169a-1<0,此恒成立
∴此时a的范围为a>1
综上所述,所求a的取值范围为a>1.
∴f(-x)=log2(4-x+1)-kx=f(x)=log2(4x+1)+kx恒成立
即log2(4x+1)-2x-kx=log2(4x+1)+kx恒成立
解得k=-1
(2)∵a>0
∴函数 g(x)=log2(a?2x-43a)的定义域为( log243,+∞)
即满足 2x>43
函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点,
∴方程log2(4x+1)-x= log2(a?2x-43a)在( log243,+∞)有且只有一解
即:方程 4x+12x=a?2x-43a在 (log243,+∞)上只有一解
令2x=t,则 t>43,因而等价于关于t的方程 (a-1)t2-43at-1=0(*)在 (43,+∞)上只有一解
当a=1时,解得 t=-34?(43,+∞),不合题意;
当0<a<1时,记 h(t)=(a-1)t2-43at-1,其图象的对称轴 t=2a3(a-1)<0
∴函数 h(t)=(a-1)t2-43at-1在(0,+∞)上递减,而h(0)=-1
∴方程(*)在 (43,+∞)无解
当a>1时,记 h(t)=(a-1)t2-43at-1,其图象的对称轴 t=2a3(a-1)>0
所以,只需 h(43)<0,即 169(a-1)-169a-1<0,此恒成立
∴此时a的范围为a>1
综上所述,所求a的取值范围为a>1.
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