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证明算符A和算符B有相同的本征函数,那么它们是可对易的
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证明算符A和算符B有相同的本征函数,那么它们是可对易的
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答案和解析
算符A、B应该是厄密算符,其本征矢（记为|n>,A、B对应本征矢的本征值记为αn,βn）可作为一组基矢,对任何状态|ψ>可按这组基矢展开|ψ>=Σ|n>=Σcn|n>
[A,B]|ψ>
=AB|ψ>-BA|ψ>
=ABΣcn|n>-BAΣcn|n>
=AΣβncn|n>-BΣαncn|n>
=Σαnβncn|n>-Σβnαncn|n>
=0
由于态函数|ψ>任意,所以[A,B]=0,即A,B对易
[A,B]|ψ>
=AB|ψ>-BA|ψ>
=ABΣcn|n>-BAΣcn|n>
=AΣβncn|n>-BΣαncn|n>
=Σαnβncn|n>-Σβnαncn|n>
=0
由于态函数|ψ>任意,所以[A,B]=0,即A,B对易
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