累次积分∫π20dθ∫sinθ0f（rcosθ，rsinθ）rdr可写成（）A．∫10dy∫1−y20f（x，y）dxB．∫120dx∫1−x20f（x，y）dyC．∫120dx∫1−x2−1−x2f（x，y）dyD．∫10dr∫π2arcsinrf（rcosθ，rsinθ）rdθ

Question

累次积分

∫

(π)/(2) 0

dθ

∫

sinθ 0

f（rcosθ，rsinθ）rdr可写成（　　）

A．

∫

1 0

dy

∫

√(1−y2) 0

f（x，y）dx
B．

∫

(1)/(2) 0

dx

∫

√(1−x2) 0

f（x，y）dy
C．

∫

(1)/(2) 0

dx

∫	√(1−x2) −√(1−x2)

f（x，y）dy
D．

∫

1 0

dr

∫	(π)/(2) arcsinr

f（rcosθ，rsinθ）rdθ

Answer 1

由题意，积分区域为：D={（r，θ）|0≤θ≤(π)/(2)，0≤r≤sinθ}
由于r＝√(x2+y2)，sinθ＝(y)/(r)，θ＝arctan(y)/(x)
因此，由r=sinθ，得x²+y²=y；由θ=0，知y=0，由θ＝(π)/(2)，知x=0
从而积分区域是由x轴和y轴，以及曲线x²+y²=y所围成
∴积分区域在平面直角坐标系下，可以写成：
D={（x，y）|0≤y≤1，0≤x≤√(y−y2)}，此时，
积分为

∫

1 0

dy

∫

√(y−y2) 0

f(x，y)dy，从而排除A．
也可写成：
D={（x，y）|0≤x≤(1)/(2)，(1)/(2)−(√(1−4x2))/(2)≤y≤(1)/(2)+(√(1−4x2))/(2)}，此时
积分为

∫

(1)/(2) 0

dx

∫	(1)/(2)+(√(1−4x2))/(2) (1)/(2)−(√(1−4x2))/(2)

f(x，y)dy，从而排除B、C
只有D是正确的
而D是因为：由于r≤sinθ，知θ≥arcsinr，而θ≤(π)/(2)，因此arcsinr≤θ≤(π)/(2)；
并且由r≤sinθ，θ≤(π)/(2)，可以得到r≤1，而r≥0，因此0≤r≤1
从而D={（r，θ）|0≤r≤1，arcsinr≤θ≤(π)/(2)}
此时，积分为

∫

1 0

dr

∫	(π)/(2) arcsinr

f(rcosθ，rsinθ)rdθ
故选：D．