高一数学题目很急1.若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证：a²+b²+c²≥1/32.已知x,y属于R+,且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值

Question

高一数学题目很急
1.若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证：a²+b²+c²≥1/3
2.已知x,y属于R+,且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值

Answer 1

(1)
根据均值不等式 a^2+b^2+c^2≥3√（a^2×b^2×c^2）=3abc ①
有因为a+b+c≥3√(abc)
两边同时平方
得（a+b+c）^2／3≥3abc
所以3abc≤1／3 ②
联立①②得 a²+b²+c²≥1/3
(2)
因为2x+8y=xy
两边同时乘上 1/xy
得2/y+8/x=1
x+y=(x+y)×1
=（x+y）×(2/y+8/x)
=2x/y+8y/x+2+8
=2x/y+8y/x+10
因为x>0,y>0
所以根据均值不等式
得2x/y+8y/x≥2√(2x/y*8y/x)=8
两边同时加上10
得2x/y+8y/x+10≥8+10=18
所以x+y≥18
即x+y的最小值为18