正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=CF+AE；（2）当AE=2时，求EF的长．

Question

正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．

（1）求证：EF=CF+AE；
（2）当AE=2时，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，AE=CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
∵

DE=DM

∠EDF=∠MDF

DF=DF

，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF，
∴EF=CF+AE；
（2） 设EF=MF=x，
∵AE=CM=2，且BC=6，
∴BM=BC+CM=6+2=8，
∴BF=BM-MF=BM-EF=8-x，
∵EB=AB-AE=6-2=4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB²+BF²=EF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
则EF=5．