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将函数f(x)=ln(4x-5)展开成x-2的幂函数,并指出其收敛域.
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将函数f(x)=ln(4x-5)展开成x-2的幂函数,并指出其收敛域.
▼优质解答
答案和解析
思路：利用ln(1+x)的幂级数展开式
f(x)=ln(4x-5)=ln[4(x-2) +3]=ln3[(4/3)(x-2) +1] =ln3 + ln[(4/3)(x-2) +1]
其中ln[(4/3)(x-2) +1]利用ln(1+x)的幂级数展开式的结果展开.（将ln(1+x)展开式中的x全替换成(4/3)(x-2)即可）
因为ln(1+x)的收敛半径是[-1,1]
所以解-1≦(4/3)(x-2)≦1得到新展开式的收敛半径
f(x)=ln(4x-5)=ln[4(x-2) +3]=ln3[(4/3)(x-2) +1] =ln3 + ln[(4/3)(x-2) +1]
其中ln[(4/3)(x-2) +1]利用ln(1+x)的幂级数展开式的结果展开.（将ln(1+x)展开式中的x全替换成(4/3)(x-2)即可）
因为ln(1+x)的收敛半径是[-1,1]
所以解-1≦(4/3)(x-2)≦1得到新展开式的收敛半径
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