求证：定义域为（-l,l）的任何函数都能表示成一个奇函数与一个偶函数之和只知道任何函数要分奇函数,偶函数,非奇非偶三种情况讨论、定义域为（-L,L）

Question

求证：定义域为（-l,l）的任何函数都能表示成一个奇函数与一个偶函数之和
只知道任何函数要分奇函数,偶函数,非奇非偶三种情况讨论、
定义域为（-L,L）

Answer 1

不用分的
设函数是f(x)
令2g(x)=f(x)+f(-x)
2h(x)=f(x)-f(-x)
则2g(-x)=f(-x)+f(x)=2g(x)
2h(-x)=f(-x)-f(-x)=-2h(x)
所以g(x)=[f(-x)+f(x)]/2是偶函数
h(x)=[f(-x)-f(x)]/2是奇函数
而f(x)=g(x)+h(x)
命题得证