已知函数f（x）=x（x-a）2，g（x）=-x2+（a-1）x（其中a为常数）（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值，并写出函数y=f（x）的单调区间；（2）求方程f（x）-g（x）=0在区间[-1

Question

已知函数f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x（其中a为常数）
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值，并写出函数y=f（x）的单调区间；
（2）求方程f（x）-g（x）=0在区间[-1，3]上实数解的个数．

Answer 1

（本小题满分13分）
（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，
则f'（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），…（1分）
令f'（x）=0，得x=a或(a)/(3)，而二次函数g（x）在x＝(a−1)/(2)处有极大值，
∴(a−1)/(2)＝a⇒a＝−1或(a−1)/(2)＝(a)/(3)⇒a＝3；
综上：a=3或a=-1．…（4分）
当a=3时，y=f（x）的单调增区间是（-∞，1]，[3，+∞），减区间是（1，3）…（5分）
当a=-1时，y=f（x）的单调增区间是(−∞，−1]， [−(1)/(3)，+∞)，减区间是(−1，−(1)/(3))； …（6分）
（2）f(x)−g(x)＝x(x−a)2−[−

x

2

+(a−1)x+a]
=x（x-a）²+（x-a）（x+1）
=(x−a)[

x

2

+(1−a)x+1]，…（8分）
h(x)＝

x

2

+(1−a)x+1，△=（a+1）（a-3）
1°当-1＜a＜3时，△＜0，h（x）=0无解，故原方程的解为x=a∈[-1，3]，满足题意，
即原方程有一解，x=a∈[-1，3]；        …（9分）
2°当a=3时，△=0，h（x）=0的解为x=1，故原方程有两解，x=1，3；
3°当a=-1时，△=0，h（x）=0的解为x=-1，故原方程有一解，x=-1；
4°当a＞3时，△＞0，由于h（-1）=a+1＞4，h（0）=1，h（3）=13-3a
若13−3a≤0⇒a≥(13)/(3)时，h（x）=0在[-1，3]上有一解，故原方程有一解；
若13−3a＞0⇒3＜a＜(13)/(3)时，h（x）=0在[-1，3]上无解，故原方程有无解；
5°当a＜-1时，△＞0，由于h（-1）=a+1＜0，h（0）=1，h（3）=13-3a＞0，
h（x）=0在[-1，3]上有一解，故原方程有一解；     …（11分）
综上可得：当3＜a＜(13)/(3)时，原方程在[-1，3]上无解；当a＜3或a≥(13)/(3)时，原方程在[-1，3]上有一解；当a=3时，原方程在[-1，3]上有两解．…（13分）