已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=lnxx，其中e是自然常数，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的极值，并证明f（x）>g（x）+12恒成立；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为3？若存在，求

Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=(lnx)/(x)，其中e是自然常数，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的极值，并证明f（x）>g（x）+(1)/(2)恒成立；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵f（x）=x-lnx，f′（x）=1-(1)/(x)=(x-1)/(x)，
∴当0<x<1时，f′（x）<0，此时f（x）递减，
当1<x<e时，f′（x）>0，此时，f（x）递增，
∴f（x）的极小值是f（1）=1，
即f（x）在（0，e]上的最小值是1，
令h（x）=g（x）+(1)/(2)=(lnx)/(x)+(1)/(2)，h′（x）=(1-lnx)/(x2)，
当0<x<e时，h′（x）>0，h（x）在（0，e]上递增，
∴h（x）_max=h（e）=(1)/(e)+(1)/(2)<1=f（x）min，
∴f（x）>g（x）+(1)/(2)恒成立，
（2） 假设存在实数a，使得f（x）=ax-lnx，（x∈（0，e]）有最小值3，
f′（x）=a-(1)/(x)=(ax-1)/(x)，
①a≤0时，f（x）在（0，e]递减，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，解得：a=(4)/(e)，
∴a≤0时，不存在a使得f（x）的最小值是3；
②0<(1)/(a)<e时，f（x）在（0，(1)/(a)）递减，在（(1)/(a)，e]递增，
∴f（x）_min=f（(1)/(a)）=1+lna=3，a=e²，满足条件；
③(1)/(a)≥e时，f（x）在（0，e]递减，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，a=(4)/(e)（舍），
∴(1)/(a)≥e时，不存在a使得f（x）的最小值是3；
综上，存在实数a=e²，使得当x∈（0，e]时，f（x）有最小值3．