甲、乙二人轮流投篮，游戏规则为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜．设甲、乙每次投篮的命中率分别是p与0.5，则p=时，甲乙胜负概率相同．

Question

甲、乙二人轮流投篮，游戏规则为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜．设甲、乙每次投篮的命中率分别是p与0.5，则p=___时，甲乙胜负概率相同．

Answer 1

设 A_i={甲在第i次投篮中投中}，
        B_i={乙在第i次投篮中投中}，
            i=1，2，3，…
       A={甲获胜}，
       B={乙获胜}，
    则A=A₁∪

.

A1

.

B2

.

B3

A₄∪

.

A1

.

B2

.

B3

.

A4

.

B5

.

B6

.

A7

∪…；
      P（A₁）=p；
      P（

.

A1

.

B2

.

B3

A4）=0.25（1-p）p；
      P（

.

A1

.

B2

.

B3

.

A4

.

B5

.

B6

A7）=[0.25（1-p）]²p；
    于是
      P（A）=p+0.25（1-p）p+[0.25（1-p）]²p+…
    这是一个几何级数求和问题．
    由于公比0<0.25（1-p）<1，所以该级数收敛．
      P（A）=(p)/(1-0.25(1-p))．
    若甲乙胜率相同，则
      (p)/(1-0.25(1-p))=0.5
    所以
      p=(3)/(7)．