已知x、y均为正实数,则x/（2x＋y)＋y/（x＋2y)是否存在最大、最小值?若存在,试求之,否则请说明理由.

Question

已知x、y均为正实数,则x/（2x＋y)＋y/（x＋2y)是否存在最大、最小值?若存在,试求之,否则请说明理由.

Answer 1

令x/y=a,则a＞0.
则x/(2x＋y)＋y/(x＋2y)=a/(2a+1)+1/(a+2)=(a²+2a+2a+1)/(2a²+5a+2)=(a²+4a+1)/(2a²+5a+2)
令原式=k,则(a²+4a+1)=k(2a²+5a+2)
即(2k-1)a²+(5k-4)a+2k-1=0
当k=1/2时,a只能为0,但a应大于0,故k≠1/2
于是这是个关于a的一元二次方程,由于a＞0,其必须有正数根
故：①判别式△≥0；②(5k-4)/(2k-1)＜0,这是因为两根之积=(2k-1)/(2k-1)=1,两根要么同正、要么同负,故要确保有正数根,两根之和必须大于0.
由①得：△=(5k-4)²-4(2k-1)²=(k-2)(9k-6)≥0,即k≤2/3或k≥2
由②得：1/2＜k＜4/5
综上,1/2＜k≤2/3,故k有最大值2/3,没有最小值.