已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，-6）的距离之比均为12．（1）求曲线C的方程．（2）设点P（1，-2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且直线PB和直线PC的倾斜角

Question

已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，-6）的距离之比均为(1)/(2)．
（1）求曲线C的方程．
（2）设点P（1，-2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．

Answer 1

（1） 曲线C上的任意一点为Q（x，y），
由题意得(√(x2+y2))/(√((x-3)2+(y+6)2))=(1)/(2)⇒(x+1)2+(y-2)2=20-------（5分）
（2）证明：由题意知，直线PB和直线PC的斜率存在，且互为相反数，P（1，-2）
故可设PA：y+2=k（x-1），-------（6分）
由

y+2=k(x-1)

(x+1)2+(y-2)2=20

⇒(1+k2)x2+2(1-k2-4k)x+k2+8k-3=0
因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得xA=(k2+8k-3)/(1+k2)，
同理，xB=(k2-8k-3)/(1+k2)，
所以kAB=(yB-yA)/(xB-xA)=(-k(xB-1)-k(xA-1))/(xB-xA)=(2k-k(xB+xA))/(xB-xA)=-(1)/(2)
故直线BC的斜率为定值-(1)/(2)．-------（12分）