已知曲线C:x²+y²-4ax+2ay-20+20a=01,证明不论a取何值,曲线C必过定点,并求顶点坐标?2,当a≠2时,证明曲线是一个是圆,且于圆心在一条直线上?

Question

已知曲线C:x²+y²-4ax+2ay-20+20a=0
1,证明不论a取何值,曲线C必过定点,并求顶点坐标?
2,当a≠2时,证明曲线是一个是圆,且于圆心在一条直线上?

Answer 1

证1.x²+y²-4ax+2ay-20+20a=(x²+y²-20)+2a(y-2x+10)=0
设有定点C坐标为（x,y),则必有
y-2x+10=0
x²+y²-20=0
解得x=4,y=-2
所以存在C点且坐标为(4,-2)
2.x²+y²-4ax+2ay-20+20a
=(x²-4ax+4a²)+(y²+2ay+a²)-(5a²-20a+20)
=(x-2a)²+(y+a)²-5(a-2)²=0
即(x-2a)²+(y+a)²=5(a-2)²
当a≠2时,5(a-2)²>0
曲线是个以(2a,-a)为圆心,(√5)|a-2|为半径的圆
是不是圆心,原点,定点在一直线上?
设圆心为A,则A的坐标为（2a,-a）,直线OA的斜率为-a/2a=-1/2
直线OC的斜率为-2/4=-1/2
斜率一样,又同过原点,所以直线OA和直线OC重叠
即圆心,原点,定点在一直线上