一直在线守(含绝对值的不等式问题)已知a,b,c,d∈R,且a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2,(m>0,n>0),求证:|ac+bd|

Question

一直在线守(含绝对值的不等式问题)
已知a,b,c,d∈R,且a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2,(m>0,n>0),求证:|ac+bd|

Answer 1

由柯西不等式知:
(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2
又因为a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2 (m>0,n>0),
所以 (mn)^2>=(ac+bd)^2
开方可得（因为m,n为正数） mn>=|ac+bd|
又由基本不等式（均值不等式）知
1/2(m^2+n^2)>=mn
所以|ac+bd|