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甲和乙参加有奖竞猜闯关活动,活动规则:①闯关过程中,若闯关成功则继续答题;若没通关则被淘汰;②每人最多闯3关;③闯第一关得10万奖金,闯第二关得20万奖金,闯第三关得30万奖金

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甲和乙参加有奖竞猜闯关活动,活动规则:①闯关过程中,若闯关成功则继续答题;若没通关则被淘汰;②每人最多闯3关;③闯第一关得10万奖金,闯第二关得20万奖金,闯第三关得30万奖金,一关都没过则没有奖金.已知甲每次闯关成功的概率为
1
4
,乙每次闯关成功的概率为
1
3

(1)设乙的奖金为ξ,求ξ的分布列和数学期望;
(2)求甲恰好比乙多30万元奖金的概率.
▼优质解答
答案和解析
(1)ξ的取值为0,10,30,60.
P(ξ=0)=1−
1
3
2
3

P(ξ=10)=(1−
1
3
1
3
2
9

P(ξ=30)=(1−
1
3
1
3
×
1
3
2
27
  
 P(ξ=60)=(
1
3
)3=
1
27

∴ξ 的概率分布如下表:
ξ 0 10 30 60
P
2
3
2
9
2
27
1
27
E(ξ)=0×
2
3
+10×
2
9
+30×
2
27
+60×
1
27
20
3

(2)设甲恰好比乙多30万元为事件A,甲恰好得30万元且乙恰好得0万元为事件B1
甲恰好得60万元且乙恰好得30万元为事件B2,则A=B1∪B2,B1,B2为互斥事件.P(A)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=(
1
4
)
3
4
×
2
3
+(
1
4
)
2
27
7
216

所以,甲恰好比乙多30万元的概率为
7
216
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