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抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为顶点.(1)求点B及点D的坐标.(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.①若线段BD上一点P,使∠DCP=
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抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为顶点.

(1)求点B及点D的坐标.
(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.
①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标.
②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标.

(1)求点B及点D的坐标.
(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.
①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标.
②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),
∴当y=0时,(x-3)(x+1)=0,
解得x=3或-1,
∴点B的坐标为(3,0).
∵y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴顶点D的坐标为(1,-4);
(2)①如右图.
∵抛物线y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3与与y轴交于点C,
∴C点坐标为(0,-3).
∵对称轴为直线x=1,
∴点E的坐标为(1,0).
连接BC,过点C作CH⊥DE于H,则H点坐标为(1,-3),
∴CH=DH=1,
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°,
∴CD=
,CB=3
,△BCD为直角三角形.
分别延长PC、DC,与x轴相交于点Q,R.
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR,
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP,
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP,
∴∠CDB=∠QCO,
∴△BCD∽△QOC,
∴
=
=
,
∴OQ=3OC=9,即Q(-9,0).
∴直线CQ的解析式为y=-
x-3,
直线BD的解析式为y=2x-6.
由方程组
,解得
.
∴点P的坐标为(
,-
);
②(Ⅰ)当点M在对称轴右侧时.
若点N在射线CD上,如备用图1,延长MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G.
∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°,
∴△MCN∽△DBE,
∴
=
=
,
∴MN=2CN.
设CN=a,则MN=2a.
∵∠CDE=∠DCF=45°,
∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形,
∴NF=CN=a,CF=
a,
∴MF=MN+NF=3a,
∴MG=FG=
a,
∴CG=FG-FC=
a,
∴M(
a,-3+
a).
代入抛物线y=(x-3)(x+1),解得a=
,
∴M(
,-
);
若点N在射线DC上,如备用图2,MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G.
∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°,
∴△MCN∽△DBE,
∴
=
=
,
∴MN=2CN.
设CN=a,则MN=2a.
∵∠CDE=45°,
∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形,
∴NF=CN=a,CF=
a,
∴MF=MN-NF=a,
∴MG=FG=
a,
∴CG=FG+FC=
a,
∴M(
a,-3+
a).
代入抛物线y=(x-3)(x+1),解得a=5
,
∴M(5,12);
(Ⅱ)当点M在对称轴左侧时.
∵∠CMN=∠BDE<45°,
∴∠MCN>45°,
而抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°,
∴点M不存在.
综上可知,点M坐标为(
,-
)或(5,12).
∴当y=0时,(x-3)(x+1)=0,
解得x=3或-1,
∴点B的坐标为(3,0).
∵y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴顶点D的坐标为(1,-4);

∵抛物线y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3与与y轴交于点C,
∴C点坐标为(0,-3).
∵对称轴为直线x=1,
∴点E的坐标为(1,0).
连接BC,过点C作CH⊥DE于H,则H点坐标为(1,-3),
∴CH=DH=1,
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°,
∴CD=
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分别延长PC、DC,与x轴相交于点Q,R.
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR,
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP,
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP,
∴∠CDB=∠QCO,
∴△BCD∽△QOC,
∴
OC |
OQ |
CD |
CB |
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∴OQ=3OC=9,即Q(-9,0).
∴直线CQ的解析式为y=-
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直线BD的解析式为y=2x-6.
由方程组
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∴点P的坐标为(
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若点N在射线CD上,如备用图1,延长MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G.
∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°,
∴△MCN∽△DBE,
∴
CN |
MN |
BE |
DE |
1 |
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∴MN=2CN.
设CN=a,则MN=2a.
∵∠CDE=∠DCF=45°,
∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形,
∴NF=CN=a,CF=
2 |
∴MF=MN+NF=3a,
∴MG=FG=
3
| ||
2 |
∴CG=FG-FC=
| ||
2 |
∴M(
3
| ||
2 |
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代入抛物线y=(x-3)(x+1),解得a=
7
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9 |
∴M(
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∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°,
∴△MCN∽△DBE,
∴
CN |
MN |
BE |
DE |
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∴MN=2CN.
设CN=a,则MN=2a.
∵∠CDE=45°,
∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形,
∴NF=CN=a,CF=
2 |
∴MF=MN-NF=a,
∴MG=FG=
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∴CG=FG+FC=
3
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∴M(
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3
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代入抛物线y=(x-3)(x+1),解得a=5
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∴M(5,12);
(Ⅱ)当点M在对称轴左侧时.
∵∠CMN=∠BDE<45°,
∴∠MCN>45°,
而抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°,
∴点M不存在.
综上可知,点M坐标为(
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