如图，▱ABCD中，点E是BC边上的一点，且DE=BC，过点A作AF⊥CD于点F，交DE于点G，连结AE、EF．（1）若AE平分∠BAF，求证：BE=GE；（2）若点E是BC边上的中点，求证：∠AEF=2∠EFC．

Question

如图，▱ABCD中，点E是BC边上的一点，且DE=BC，过点A作AF⊥CD于点F，交DE于点G，连结AE、EF．

（1）若AE平分∠BAF，求证：BE=GE；
（2）若点E是BC边上的中点，求证：∠AEF=2∠EFC．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵DE=BC，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED，
∴∠AEB=∠AED，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠GAE，
在△ABE和△AGE中，

∠BAE=∠GAE

AE=AE

∠AEB=∠AEG

，
∴△ABE≌△AGE（ASA），
∴BE=GE；

（2）延长AE，交DC的延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAF=∠AFD，∠M=∠BAE，
∵点E是BC边上的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△MCE中，

∠BAE=∠M

∠AEB=∠MEC

BE=CE

，
∴△ABE≌△MCE（AAS），
∴AE=ME，
∵AF⊥CD，
∴EF=AE=EM=(1)/(2)AM，
∴∠M=∠EFC，
∴∠AEF=∠BAE+∠EFC=2∠EFC．