如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC边上任一点，PE∥AB交AC于点E，PF∥AC交AB于点F．（1）设BP=x，请写出用x表示S△PEF的表达式；（2）P在BC的什么位置时，S△PEF取得最大值？

Question

如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC边上任一点，PE∥AB交AC于点E，PF∥AC交AB于点F．

（1）设BP=x，请写出用x表示S_△PEF的表达式；
（2）P在BC的什么位置时，S_△PEF取得最大值？

Answer 1

（1）∵BC=2，BC边上的高AD=1，
∴S△ABC=(1)/(2)×2×1=1，
∵BP=x，
∴PC=2-x，
∵PE∥AB，
∴△CEP与△CAB相似，
∴(S△CEP)/(S△CAB)＝((2−x)/(x))2，
∴S△CEP＝1−x+(x2)/(4)，
同理，得到S△BPF＝(x2)/(4)，
∵四边形AEPF为平行四边形，
∴S_△PEF=(1)/(2)S▱AEPF=(1)/(2)（S_△ABC-S_△CEP-S_△BPF）
=-(1)/(4)x2+(1)/(2)x，（0＜x＜2）．
S_△PEF=-(1)/(4)x2+(1)/(2)x（0＜x＜2）．
（2）由（1）知S_△PEF=-(1)/(4)x2+(1)/(2)x=-(1)/(4)（x-1）²+(1)/(4)，
∵0＜x＜2，
∴当x=1时，面积有最大值(1)/(4)．