如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=8，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．（1）证明：EF=CF；（2）当AEAD=14时，求EF的长．

Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=8，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．
（1）证明：EF=CF；
（2）当(AE)/(AD)=(1)/(4)时，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：过D作DG⊥BC于G，
由已知可得四边形ABGD为正方形，
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，

∠ADE＝∠GDC

AD＝DG

∠DGC＝∠DAE

，
∴△ADE≌△GDC（ASA）
∴DE=DC且AE=GC．
在△EDF和△CDF中，

DE＝DC

∠EDF＝∠CDF

DF＝DF

，
∴△EDF≌△CDF（SAS）
∴EF=CF；

（2）∵(AE)/(AD)=(1)/(4)，
∴AD=4AE，
∵AB=AD=8，
∴AE=GC=2，
∴BC=10，BE=6，
设CF=EF=x，则BF=10-CF=10-x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：x²=（10-x）²+6²，
解得x=6.8，
即CF=6.8．