函数极限的局部有界性的理解,为什么要加局部?不是很明白?

Question

函数极限的局部有界性的理解,为什么要加局部?不是很明白?

Answer 1

极限这个概念本身就是局部性质,函数在一点a的极限只能表示a点附近的性质,所以必然是局部性.事实上如果函数f(x)在点a有极限,那么必然存在点a的一个小邻域在其上函数f(x)是有界的,在邻域之外就不能保证了.举一个简单的例子,函数f(x)=1/x,这个函数图象你肯定很熟悉了,我们知道这个函数在x=0.01处是有极限的,极限就是1/0.01=100,因此函数在0.01这个点是局部有界的,存在一个0.01的小邻域,不妨去0.005,0.015这个区间,在这个区间上函数f显然是有界的.但是去掉局部两个字就未必了,因为函数f(x)在整个实轴上不是有界的,在0点附近是趋向于无穷的.
所以说极限是局部性质,只能保证它附近而已,当你把0.01取成更小的0.00001或者更小,我把对应的小邻域也缩小就可以了,总之能找到这么一个小邻域有界,但整体来说是不可以的.
多说一点,函数极限存在则一定局部有界,但是反过来,函数局部有界,甚至函数有界,都不能保证极限的存在,你能举出例子么?不行的话我再追加回答