设函数fn（x）（n=1，2，…）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，并且{fn（x）}在[0，1]上一致有界，{f′n（x）}在（0，1）上一致有界，证明：函数列fn（x）有一致收敛的子列．

Question

设函数f_n（x）（n=1，2，…）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，并且{f_n（x）}在[0，1]上一致有界，{f′_n（x）}在（0，1）上一致有界，证明：函数列f_n（x）有一致收敛的子列．

Answer 1

因为{f_n（x）}在[0，1]上一致有界，{f′_n（x）}在（0，1）上一致有界，
不妨设|f_n（x）|≤M，|f′_n（x）|≤M，
所以∀ɛ＞0，∃δ=(ɛ)/(6M)，当|x-y|＜δ时，
|f_n（x）-f_n（y）|=|f′（ξ）||x-y|≤M•(ɛ)/(6M)=(ɛ)/(6)＜(ɛ)/(3)．
对于上面的δ，设M＝[(1)/(δ)]+1，
x_k=x₀+kδ，k=0，…，M-1，
x_M=1．
对于x₀，{f_n（x₀）}有界，故存在收敛子列{f0n(x0)}；
对于x₁，{f0n(x1)}有界，故存在收敛子列{f1n(x1)}；
…，
对于x_M，{f(M−1)n(xM)}有界，故存在收敛子列{fMn(xM)}．
对于子列{fMn(x)}，由于{fMn(xk)}（k=0，…，M）均收敛，
故∀k∈{0，1，…，M}，∃N_k＞0（N_k只依赖于ɛ），当M_n＞N_k时，∀P＞0，
|fMn+p(xk)−fMn(xk)|＜(ɛ)/(3)；
再注意到其连续性，
∀x∈[0，1），∃k∈{0，1，…，M}，使得|x-x_k|＜δ，
从而，|fMn+p(x)−fMn+p(xk)|＜(ɛ)/(3)，|fMn(xk)−fMn(x)|＜(ɛ)/(3)．
因此，取N=max{N₀，…，N_M}（N只依赖于ɛ），则当M_n＞N时，
|fMn+p(x)−fMn(x)|
≤|fMn+p(x)−fM