设有界数列｛Xn｝发散,证明：｛Xn｝中必存在两个子列｛Xn1}(1)和｛Xn2}(2),使｛Xn1}(1)和｛Xn2}(2)分别敛于两个不同的极限值?

Question

设有界数列｛Xn｝发散,证明：｛Xn｝中必存在两个子列｛Xn1}(1)和｛Xn2}(2),使｛Xn1}(1)和｛Xn2}(2)分别
敛于两个不同的极限值?

Answer 1

设 an = sup{xn,x(n+1),.} 即 序列 xn,x(n+1),.的上限.n =1,2,.
设 bn = inf{xn,x(n+1),.} 即 序列 xn,x(n+1),.的下限.n =1,2,.
因为 {xn} 有界,所以 {an},{bn} 都存在.并且 an >= bn
{an} 是递减序列且有界,必有极限.设其极限为a.
{bn} 是递增序列且有界,必有极限.设其极限为b.
因为 an >= bn,所以 a >= b.
如果 a = b,则 {xn} 收敛于a,与题设 {xn}发散矛盾.
于是有：a > b
任给 m > 0,因 an ---> a,所以 存在 n 使得 |an - a| < 1/(2m),
an = sup{xn,x(n+1),.},所以 存在 m1,使得 |xm1 - an| < 1/(2m)
===> |xm1 - a| a
类似可以找到序列 {xm2},使得 xm2 ---> b.