数列anSn=an²+bn+c（a不等于0）则“c=0”是“an是等差数列”的什么条件

Question

数列an Sn=an²+bn+c （a不等于0） 则“c=0”是“an是等差数列”的什么条件

Answer 1

如果是等差数列设首项a1公差d,则：
Sn=a1+n(n-1)*d/2=(d/2)*n^2-(d/2)*n+a1
此时a=d/2 b=-d/2 c=a1
a1不一定等于零,
所以c=0不是“an是等差数列”的必要条件
如果c=0
则：Sn=an^2+bn
a1=S1=a*1^2+b*1=a+b
n>1时,
an=Sn-S(n-1)=an^2+bn-a(n-1)^2-b(n-1)=2a*n+b-a=a+b+2a*(n-1)
数列an是首项a+b公差为2a的等差数列
所以“c=0”是“an是等差数列”的充分条件
综合以上,“c=0”是“an是等差数列”的充分非必要条件