设实数a\b\c是三角行的三条边长,且满足条件条件(x+a)(x+b)+(x+b)(X+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,则这个三角形是什么三角形?请将解题思路写下来,我数学较差,对不起!请问你是如何从3x^2+2(a+b+c)x+ab+bc+ac

Question

设实数a\b\c是三角行的三条边长,且满足条件
条件(x+a)(x+b)+(x+b)(X+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,则这个三角形是什么三角形?请将解题思路写下来,我数学较差,
对不起!请问你是如何从3x^2+2(a+b+c)x+ab+bc+ac
∵(x+a)(x+b)+(x+b)(X+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,
得出∴△=[2(a+b+c)]^2-4*3*(ab+bc+ac)=0这一步呢?

Answer 1

(x+a)(x+b)+(x+b)(X+c)+(x+c)(x+a)
=(x^2+ax+bx+ab)+(x^2+bx+cx+bc)+(x^2+ax+cx+ac)
=3x^2+2(a+b+c)x+ab+bc+ac
∵(x+a)(x+b)+(x+b)(X+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,
∴△=[2(a+b+c)]^2-4*3*(ab+bc+ac)=0,
(二次三项式mx^2+nx+p为完全平方式时,△=n^2-4mp=0,这是结论,你问一下数学老师就知道了.)
∴4(a+b+c)^2-12ab-12bc-12ac=0,
∴4(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)-12ab-12bc-12ac=0,
∴4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4ac-4bc=0,
∴2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0,
∴(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0,
∴(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0,
∵(a-b)^2≥0且(b-c)^2≥0且(a-c)^2≥0,
∴(a-b)^2=0且(b-c)^2=0且(a-c)^2=0,
∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,
∴a=b,b=c,a=c,
∴a=b=c,
∴这个三角形是等边三角形.