蚂蚁与橡皮筋悖论一只蚂蚁沿着一条长100米的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行.每过1秒钟,橡皮绳就拉长100米,比如10秒后,橡皮绳就伸长了1000米.假设橡皮绳可以任意拉长,并且拉

Question

蚂蚁与橡皮筋悖论
一只蚂蚁沿着一条长100米的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行.每过1秒钟,橡皮绳就拉长100米,比如10秒后,橡皮绳就伸长了1000米.假设橡皮绳可以任意拉长,并且拉伸是均匀的.蚂蚁也会不知疲倦的一直往前爬,在绳子均匀拉长时,蚂蚁的位置理所当然的相对匀速向前挪动,问,如此下去,蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端?

Answer 1

也许你会认为,蚂蚁爬行的那点可怜的路程远远赶不上橡皮绳成万倍的不断拉长,只怕是离终点越来越远吧!但是千真万确,蚂蚁爬到了终点,奇怪吗?现在让我们看一下推导过程（只需懂得积分即可）
　　1、如果把橡皮筋然全长定为1,那么不管橡皮筋拉多长,都是1,拉长的结果是让蚂蚁的速度下降为原来的100/(100+100t)=1/(1+t)
　　2、蚂蚁的初速度是全长的0.01/（100）=1/10000-=0.0001,(按全长为1来定即走过全长的万分之一)
　　3蚂蚁在t时刻的速度是0.0001*(1/(1+t))=0.0001/(1+t)
　　4、则蚂蚁在微小的时间段dt内走过的路是 (0.0001/(1+t))dt
　　5、则蚂蚁从0时刻走到t时刻的路程为∫(0.0001/(1+t))dt
　　从0到t积分因为∫(0.0001/(1+t))dt=0.0001*ln(1+t)
　　所以蚂蚁走过的路程为 0.0001ln(1+t)-0.0001ln(1+0)=0.0001ln(1+t)
　　因为全长定为1,令上式=1 0.0001ln(1+t)=1
　　解这个方程 1+t=e^10000
　　t=(e^10000)-1=3.122*10^4343秒=1.0*10^4335年
　　此问题相当于调和级数求和.
　　我们今天发现的调和级数悖论则是芝诺悖论（阿基里斯追不上乌龟）的又一个很巧妙的翻版.
　　Euler(欧拉)在1734年,利用Newton的成果,首先获得了调和级数有限多项和的值.结果是：
　　1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)
　　r的值,约为0.577218.这个数字就是后来称作的欧拉常数.