蠕虫悖论求解这是基诺未能想出来的又一个悖论.一条蠕虫在橡皮绳的一端.橡皮绳长一米.蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行.在1秒钟之后,橡皮绳就像橡皮筋一样拉长一米.再过一秒钟

Question

蠕虫悖论求解
这是基诺未能想出来的又一个悖论.一条蠕虫在橡皮绳的一端.橡皮绳长一米.蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行.
在1秒钟之后,橡皮绳就像橡皮筋一样拉长一米.再过一秒钟后,它又拉长为3米,如此下去.蠕虫最后究竟会不会达到终点呢?
根据直觉你会说：蠕虫绝不能爬到终点.可是,它爬到了.试试看,你是否能算出蠕虫要爬多远.
计算是这样的：
第一秒：蠕虫爬了全绳长的1/100,第二秒：蠕虫爬了全绳长的1/200……依次类推
于是,第n秒,蠕虫爬了全绳长的1/n*100
则在第2的k次方秒,蠕虫爬了全绳长的1/2的k次方*100
那么在2的k次方秒这个过程中,蠕虫爬了：
1/100＋1/200＋……＋1/2的k次方*100
将1/100提出后,原式变为：
1/100(1+1/2+1/3+……+1/2的k次方)
整理后得：
1/100[(1+1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+……+(1/{2的k-1次方加1}+……+1/2的k次方)]
为什么要这么整理呢?
试比较下面的式子和上面的式子：
1/100[1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……+(1/2的k次方+……+1/2的k次方)]
很明显：下面的式子将上面的式子的许多数改小了,所以下面的式子比上面的式子小
我们还可以发现：下面的式子每一个括号里的和都为1/2
那么n个1/2相加为n/2,下面的式子为k个1/2相加,得k/2
当下面的式子等于1时,1+k/2=100,
k/2=99,k=198,
所以,k/2=198,蠕虫爬到了另一头.
这是完整的蠕虫悖论.

Answer 1

这道问题的关键在于橡皮绳拉长之后蠕虫在橡皮绳上的位置究竟是如何确定的,直觉判断的明显爬不到头有一部分是认为橡皮绳拉长之后橡皮绳到起点的距离不变,（此时显然爬不到头……）但是绳子拉长是按照比例计算的,也就是计算时用的方法,也就是说绳子1米蠕虫爬1厘米,绳子拉长到两米后,蠕虫到绳子起始端的距离按比例变成2厘米（不是爬的结果）,那毫无疑问确实是能爬到头的,如果这时候你通过直觉判断仍然是爬不到头,那没办法,事实有时候就是会违背第一直觉.因为绳子拉长1米,当绳子原长足够长,蠕虫爬过的距离比较大时,（只要蠕虫爬过的距离超过绳子长度的99%,但是注意到蠕虫爬过的绳长百分比始终增大而且可以任意增大,这总会实现）蠕虫到绳子另一端的距离增加量可以小于1厘米,这样蠕虫就能爬到另一头了,也就是说蠕虫在爬过很远很远之后,会越爬越简单.当然问题本质是因为1+1/2+1/3+.无穷大,所以其实还是那个计算更能说明这个问题.