高中数学设函数f(x)=ax+lnX,g(x)=(a^2)*(x^2)(1)当a=-1时,求函数y=f(x)图象上的点到直线x-y+3=0距离的最小值(2)是否存在正实数a,使得不等式f(x)≤g(x)对一切正实数都成立?若存在,求出a的取值范围,若不

Question

高中数学
设函数f(x)=ax+lnX,g(x)=(a^2)*(x^2)
(1) 当a=-1时,求函数y=f(x)图象上的点到直线x-y+3=0距离的最小值
(2) 是否存在正实数a,使得不等式f(x)≤g(x)对一切正实数都成立?若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.
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Answer 1

（1）此时,f(x)=-x+lnX,g(x)=x^2
设f(x）上任意一点为（a,b),由点到直线距离公式,
d=|2a-lna+3|/根号下2,令u(x)=2x-lnx+3,求其导数,可知,当x=1/2时,u(x)取最小值.且因为u(x)恒为正,所以当x=1/2时,d最小,代入可得此时d=(4+ln2)/根号下2.
（2）存在.
设F(x)=(a^2)*(x^2)-ax-lnX
对其求导得：(x)=2a^2x-a-1/x,
可知该导函数是增函数,当x接近0时可取负值,那么当F~(x)=0时,F(x)最小,若最小值大于零,那么存在正实数a,使得不等式f(x)≤g(x)对一切正实数都成立.
由F~(x)=0解得x=1/a 代入F(x)=(a^2)*(x^2)-ax-lnX
此时大于等于0,得到ln1/a小于等于0或所以a大于等于1.