问题背景在△ABC中，∠B=2∠C，点D为线段BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．例如：在图1中，当AB=AD时，可证

Question

问题背景  在△ABC中，∠B=2∠C，点D为线段BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．
例如：在图1中，当AB=AD时，可证得AB=DC，现在继续探索：
任务要求：
（1）当AD⊥BC时，如图2，求证：AB+BD=DC；
（2）当AD是∠BAC的角平分线时，判断AB、BD、AC的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）在DC上截取DM=BD，连接AM．
在△ABD与△AMD中，

AD＝AD

∠ADB＝∠ADM＝90°

DM＝BD

，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴AB=AM，
∴∠B=∠AMB．
∵∠AMD=∠MAC+∠C，∠B=2∠C，
∴∠C=∠MAC，
∴AM=MC，
∴MC=AB，
则AB+BD=DC；
（2）AB+BD=AC．
方法一：如图a，在AC上截取AM=AB，连接DM．
在△ABD和△AMD中，

AB＝AM

∠BAD＝∠MAD(角平分线的性质)

AD＝AD(公共边)

，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴∠B=∠AMD．
∵∠B=2∠C（已知），∠AMD=∠C+∠MDC（外角定理），
∴∠C=∠MDC（等量代换），
∴DM=MC，则MC=BD，
则AB+BD=AC．

方法二：如图b，延长AB到M，使BM=BD，连接MD．
∴∠ABD=∠M+∠BDM=2∠M．
∵∠ABD=2∠C，
∴∠M=∠C．
又∵∠BAD=∠CAD（角平分线的性质），
AD=AD（公共边）
∴△AMD≌△ACD．
∴AM=AC，
∴AB+BD=AC．