如图，AD是⊙O的直径，过⊙O上一点E作直线L，交AD的延长线于点B，AC⊥L于点C，AC交⊙O于点G，E为劣弧GD的中点．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AG=6，CE=4，求⊙O的半径．

Question

如图，AD是⊙O的直径，过⊙O上一点E作直线L，交AD的延长线于点B，AC⊥L于点C，AC交⊙O于点G，E为劣弧GD的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AG=6，CE=4，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OE，GD交于F．
∵AD是⊙O的直径，
∴OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵E为劣弧GD的中点，
∴

GE

=

ED

，
∴∠GAE=∠OAE，
∴∠OEA=∠GAE，
∴OE∥AC，
又AC⊥BC，
∴OE⊥BC．
又OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径是r．
由（1）知，OE⊥BC，
∵AD是圆O的直径，
∴∠AGD=90°，
∴AG⊥GD．
∵AC⊥BC，
∴GD∥BC．
∴四边形GCEF是矩形，则则CE=GF=4．
∵OE是半径，GD是非直径的弦，
∴GF=FD=4，GD=8．
∵AG=6，
∴AD=10，半径为5．
即⊙O的半径是5．