已知an=log（n+1）（n+2），（n∈N*），若称使乘积a1•a2•a3…an为整数的数n为劣数，则在区间（1，2010）内所有劣数的和为（）A．2026B．2046C．1024D．1022

Question

已知a_n=log_（n+1）（n+2），（n∈N^*），若称使乘积a₁•a₂•a₃…a_n为整数的数n为劣数，则在区间（1，2010）内所有劣数的和为（　　）

A．2026
B．2046
C．1024
D．1022

Answer 1

由题意a_n=log_（n+1）（n+2），（n∈N^*），若称使乘积a₁•a₂•a₃…a_n为整数的数n为劣数且a₁•a₂•a₃…a_n=log₂（n+2）
故劣数n=2^k-2，故最小的劣数为2=2²-2，令n=2^k-2＜2010，
由于2¹⁰-2=1022，2¹¹-2=2046
故最大的劣数为2¹⁰-2
∴（1，2010）内所有劣数的和为2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=(22×(1−29))/(1−2)-18=2¹¹-22=2026
故选A