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已知a≤1，x≥1，求证：（x+1）ln（x+1）≥ax．
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已知a≤1，x≥1，求证：（x+1）ln（x+1）≥ax．
▼优质解答
答案和解析
令f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
则f′（x）=ln（x+1）+1-a，
∵x≥1，a≤1
∴ln（x+1）≥ln2＞0，1-a≥0，
∴f′（x）=ln（x+1）+1-a＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴在[1，+∞）上f（x）≥f（1）=2ln2-a＞ln
＞0，
即（x+1）ln（x+1）-ax＞0
∴（x+1）ln（x+1）≥ax．
则f′（x）=ln（x+1）+1-a，
∵x≥1，a≤1
∴ln（x+1）≥ln2＞0，1-a≥0，
∴f′（x）=ln（x+1）+1-a＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴在[1，+∞）上f（x）≥f（1）=2ln2-a＞ln
| 4 |
| e |
即（x+1）ln（x+1）-ax＞0
∴（x+1）ln（x+1）≥ax．
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