如图,AB是圆O的直径,CD⊥AB于D,EC切圆O于E,求证CE=CF

Question

如图,AB是圆O的直径,CD⊥AB于D,EC切圆O于E,求证CE=CF

Answer 1

在△ABE和△DBF中,∠B=∠B,∠FDB=∠AEB=90°,
∴△ABE∽△DBF(角角角),∴∠DFB=∠EAB.
通过C作线段CM,使CM⊥EB,垂足M.
在△CMF和△DBF中,∠CFM=∠DFB,∠CMF=∠FDB=90°,
∴△CMF∽△DBF(角角角),∴∠MCF=∠B.
连接AE.
△ABE和△CME中,∠A=∠CEM(弦切角=内对角),∠CME=∠AEB=90°,
∴△ABE∽△CME(角角角),∴∠MCE=∠AEB.
已知：△ABE∽△DBF(已证),△CMF∽△DBF(已证),△ABE∽△CME(已证),
∴△CMF∽△CME（等量代换）.


已知：△CMF∽△CME(已证),并CM=CM,∴△CMF≌△CME(角边角),∴CE=CF.