如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB=BC．（1）证明：点O在圆D的圆周上．（2）设△ABC的面积为S，求圆D的半径R的最小值．

Question

如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB=BC．
（1）证明：点O在圆D的圆周上．
（2）设△ABC的面积为S，求圆D的半径R的最小值．

Answer 1

（1）连OA，OB，OC，AC，因为O为圆心，AB=BC，
所以△OBA∽△OBC，从而∠OBA=∠OBC．
因为OD⊥AB，DB⊥BC，所以
∠DOB=90°-∠OBA=90°-∠OBC=∠DBO，
所以DB=DO，因此点O在圆D的圆周上．

（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BE⊥AC．
设AC=2y（0＜y≤a），OE=x，AB=l，则a²=x²+y²，S=y（a+x），
l²=y²+（a+x）²=y²+a²+2ax+x²=2a²+2ax=2a（a+x）=(2aS)/(y)
因为∠ABC=2∠OBA=2∠OAB=∠BDO，AB=BC，DB=DO，
所以△BDO∽△ABC，所以(BD)/(AB)=(BO)/(AC)，即(r)/(l)＝(a)/(2y)，故r=(al)/(2y)．
所以r²=(a2l2)/(4y2)=(a2)/(4y2)×(2aS)/(y)=(S)/(2)×((a)/(y))3≥(S)/(2)，即r≥(√(2S))/(2)，
其中等号当a=y时成立，
这时AC是圆O的直径．所以圆D的半径r的最小值为(√(2S))/(2)．