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如图,圆O与圆D相交于A,B两点,BC为圆D的切线,点C在圆O上,且AB=BC.(1)证明:点O在圆D的圆周上.(2)设△ABC的面积为S,求圆D的半径R的最小值.

题目详情
如图,圆O与圆D相交于A,B两点,BC为圆D的切线,点C在圆O上,且AB=BC.
(1)证明:点O在圆D的圆周上.
(2)设△ABC的面积为S,求圆D的半径R的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)连OA,OB,OC,AC,因为O为圆心,AB=BC,
所以△OBA∽△OBC,从而∠OBA=∠OBC.
因为OD⊥AB,DB⊥BC,所以
∠DOB=90°-∠OBA=90°-∠OBC=∠DBO,
所以DB=DO,因此点O在圆D的圆周上.

(2)设圆O的半径为a,BO的延长线交AC于点E,易知BE⊥AC.
设AC=2y(0<y≤a),OE=x,AB=l,则a2=x2+y2,S=y(a+x),
l2=y2+(a+x)2=y2+a2+2ax+x2=2a2+2ax=2a(a+x)=
2aS
y

因为∠ABC=2∠OBA=2∠OAB=∠BDO,AB=BC,DB=DO,
所以△BDO∽△ABC,所以
BD
AB
=
BO
AC
,即
r
l
a
2y
,故r=
al
2y

所以r2=
a2l2
4y2
=
a2
4y2
×
2aS
y
=
S
2
×(
a
y
)3≥
S
2
,即r≥
2S
2

其中等号当a=y时成立,
这时AC是圆O的直径.所以圆D的半径r的最小值为
2S
2