x-tanx=0有无穷多根怎么证用大学微积分知识证

Question

x-tanx=0有无穷多根怎么证
用大学微积分知识证

Answer 1

任取tanx的一个周期（kpi-pi/2,kpi+pi/2),
那么在闭区间[kpi-arctan(kpi-pi/2),kpi+arctan(kpi+pi/2)]（它包含于上述周期内）上f(x)=x-tanx在连续.
并且f(kpi-arctan(kpi-pi/2))=kpi-arctan(kpi-pi/2)-kpi+pi/2>0,
f(kpi+arctan(kpi+pi/2))=kpi+arctan(kpi+pi/2)-kpi-pi/2<0.
因此根据连续函数的零点性质,
必有xk∈(kpi-arctan(kpi-pi/2),kpi+arctan(kpi+pi/2)),
进而xk∈（kpi-pi/2,kpi+pi/2),
使得,f(xk)=0
这就证明了在每个区间（kpi-pi/2,kpi+pi/2),k∈Z,内,x-tanx=0都至少有一个跟,因此它有无穷多个根.