设方阵A满足条件AA^T=E,试证A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于一

Question

设方阵A满足条件AA^T=E,试证A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于一

Answer 1

先证如果λ是
由已知 A^T=A逆
由于 |λE-A| = |(λE-A)^T| = |λE-A^T| = |λE-A逆|=|A逆||λA-E|
=1/|A| * 1/λ * |A-λE| = 1/|A| * 1/λ * (-1)^n*|λE -A|
所以1/|A| * 1/λ * (-1)^n =1
|λ| = | 1/|A| | （外面的|表示绝对值,里面的表示行列式）
而 |AA^T|=|A|² =|E|=1
所以|λ|=1