1.证（根号2-1）的n次方等于根号k加根号（k加1）（k整数）

Question

1.证（根号2-1）的n次方等于根号k加根号（k加1）（k整数）

Answer 1

简明证法：
先化简An=（1+根号2）^n
由于根号2的n次方要么是整数,要么是整数*根号2,
以下两个二项式展开时,各项值相等,仅符号（-1）^奇次方相反.含有根号2的要么全正,要么全负、不含有2的也是要么全正要么全负.
（根号2　+1）^n ＝　　　A　+B根号2
（根号2　-1）^n ＝　+或-(A　-B根号2)　
两式相乘,左边＝1＝右边＝+或-（A^2-B^2*2）
A^2 =2*B^2 +或-　1
它们就是本题要求证的K与K+1（如果A^2大,A^2＝K、否则2*B^2＝K）
递推证明法：
1.证An（根号2-1）的-n次方等于根号k加根号（k加1）（k整数）
先化简An=（1+根号2）^n
n=1时A1=1+根号2, 有k=1成立
n=2时A2=(1+根号2)^2=3+2根号2＝根号8+根号9,有k=8成立
n=3时A3＝根号49　+根号50
n=4时A4＝根号288+根号289
.
假设一、An=根号（k^2）+根号（k^2+1） 且k^2+1 =2*m^2
则An+1=[根号（k^2）+根号（k^2+1）][1+根号2]
　　　　＝根号[2(k+m)^2] +根号[(k+2m)^2]
=根号[4km+6m^2-2] +根号[4km+6m^2-1]
因此An+1满足假设二.
假设二、An=根号（k^2　-1）+根号（k^2） 且k^2 -1=2*m^2
则An+1=[根号（k^2-1）+根号（k^2）][1+根号2]
　　　　＝根号[(k+2m)^2] +根号[2(k+m)^2]
=根号[4km+6m^2+1] +根号[4km+6m^2+2]
因此An+1满足假设一.
根据归纳法,对所有n值,An总可以表示为根号k加根号（k加1）（k整数）