已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1=2，设该数列的前n项和为Sn，且Sn=an+1−2a−1（n=1，2，3，…，2k-1），其中常数a＞1．（1）求{an}的通项公式；（2）若a=222k−1，数列{bn}满足bn=1nlog

Question

已知有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2），首项a₁=2，设该数列的前n项和为S_n，且S_n=(an+1−2)/(a−1)（n=1，2，3，…，2k-1），其中常数a＞1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a=2(2)/(2k−1)，数列{b_n}满足b_n=(1)/(n)log2(a1a2…an)，（n=1，2，3，…，2k），求证：1≤b_n≤2；
（3）若（2）中数列{b_n}满足不等式：|b₁-(3)/(2)|+|b2−(3)/(2)|+…+|b2k−1−(3)/(2)|+|b2k−(3)/(2)|≤4，求k的最大值．

Answer 1

（1）S_n=(an+1−2)/(a−1)①，S _n+1=(an+2−2)/(a−1)②
②-①得，S _n+1-S_n=a _n+1=(an+2−an+1)/(a−1)
化简整理得，a_n+2=a•a_n+1，(an+2)/(an+1)=a（  n≥1）
又由已知a₁=S₁=(a2− 2)/(a−1)，整理得出a₂=a•a₁
∴数列{a_n}是以a为公比，以2为首项的等比数列，
通项公式为a_n=2×a ^n-1．

（2）由（1）得a_n=2a^n-1，
∴a₁a₂a_n=2ⁿa^{1+2+…+（n-1）}=2ⁿa(n(n−1))/(2)=2n+(n(n−1))/(2k−1)，
b_n=(1)/(n)[n+(n(n−1))/(2k−1)]＝(n−1)/(2k−1)+1（n=1，2，…，2k）．
∵2k-1≥n-1
∴0 ≤(n−1)/(2k−1)≤ 1
   即1≤b_n≤2；

（3）设b_n≤(3)/(2)，解得n≤k+(1)/(2)，又n是正整数，于是当n≤k时，b_n＜(3)/(2)；
当n≥k+1时，b_n＞(3)/(2)．
原式=（ (3)/(2)-b₁）+（ (3)/(2)-b₂）+…+（ (3)/(2)-b_k）+（b_k+1-(3)/(2)）+…+（b_2k-(3)/(2)）
=（b_k+1+…+b_2k）-（b₁+…+b_k）
=[((1)/(2)(k+2k−1)k)/(2k−1)+k]−[((1)/(2)(0+k−1)k)/(2k−1)+k]=