如图，在等腰△ABC中，AB=BC=4，点O是AB的中点，∠AOC=60°，点P是射线CO上的一个动点，若当△PAB为直角三角线时，试画出可能的图形（两种即可），并求出相应图形中的AP的长．

Question

如图，在等腰△ABC中，AB=BC=4，点O是AB的中点，∠AOC=60°，点P是射线CO上的一个动点，若当△PAB为直角三角线时，试画出可能的图形（两种即可），并求出相应图形中的AP的长．

Answer 1

当∠APB=90°时，分两种情况．
情况一：如图1，
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，
∴AP=AB•sin60°=4×(√(3))/(2)=2√(3)；
情况二：如图2，
∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=2，
当∠ABP=90°时，如图3，
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴BP=√(3)OB=2√(3)，
在直角三角形ABP中，
AP=√((2√(3))2+42)=2√(7)，
综上所述，AP的长为2√(3)或2√(7)或2．