如果t＞0，试证a+bt1+t必在a与b之间．

Question

如果t＞0，试证(a+bt)/(1+t)必在a与b之间．

Answer 1

(a+bt)/(1+t)−a＝((a+bt)−a(1+t))/(1+t)＝(t(b−a))/(1+t)，
(a+bt)/(1+t)−b＝((a+bt)−b(1+t))/(1+t)＝(a−b)/(1+t)，
当a＜b时，
∵t＞0，b-a＞0．
∴(t(b−a))/(1+t)＞0，而((a−b))/(1+t)＜0.，
∴a＜(a+bt)/(1+t)＜b.，
当a＞b时，
∵t＞0，a-b＞0．
∴(t(b−a))/(1+t)＜0，而((a−b))/(1+t)＞0.，
∴b＜(a+bt)/(1+t)＜a.，
（当a=b时，(a+bt)/(1+t)＝a＝b），