三阶实对称矩阵A的特征值为x1=-1,x2=x3=1,对应于x1的特征向量为b=(0,1,1)(列向量),求A

Question

三阶实对称矩阵A的特征值为x1=-1,x2=x3=1,对应于x1的特征向量为b=(0,1,1)(列向量),求A

Answer 1

由于属于不同符的特征向量正交
所以属于特征值1的特征向量满足 x2+x3=0
解得 a2=(1,0,0)^T, a2=(0,1,-1)^T
令 P = (b,a1,a2)=
0 1 0
1 0 1
1 0 -1
则 P 可逆, 且 P^-1AP = diag(-1,1,1)
所以 A = Pdiag(-1,1,1)P^-1 =
1 0 0
0 0 -1
0 -1 0