求证sinx=x只有一实根

Question

求证sinx=x只有一实根

Answer 1

1）直接证明.
可设函数 f(x)＝sinx - x ,则 f'(x)＝cosx - 1 [ f'(x) 表示求导],
因 cosx≤1,所以 f'(x)≤0,那么 f(x) 在 (-∞,+∞) 内单调递减,其图像与 x轴仅有一个交点,故 方程 sinx - x＝0 （即 sinx＝x）只有一个实根 x＝0.
[注：虽然 f(x) 不是“严格单减”,但其驻点 ---- 即 x＝2kπ,k∈Z ---- 都是离散的,所以 f(x) 不可能在 x 的某一个邻域 (x-△,x+△) 内为恒值,当然也就不可能在 x＝0 的邻域 (0-△,0+△) 内恒为 0.]
（2）反证法.
设方程 sinx - x＝0 至少有两个根,且相邻的两根为 x1,x2（不妨设 x1＜x2）,由于 f(x)＝sinx - x 是连续可导函数,那么在 (x1,x2) 内必有一个极值点 x3,因此在区域 (x1,x3) 或 (x3,x2) 必存在“单调递增”区域,这与 f'(x)＝cosx - 1≤0 矛盾,所以 方程 sinx - x＝0 仅有一个实根 x=0