求定积分∫(0,∞)kx*e^(-kx)dx

Question

求定积分∫(0,∞)kx*e^(-kx)dx

Answer 1

这题应该一般会告诉你k>0吧,如果没有要讨论
当k>0时,答案是1/k
这里有一个公式比较常用 最好可以记住 ∫(0,∞)x^n e^(-x)dx=n!所以这题是1/k
一般做法如下
∫(0,∞)kxe^(-kx)dx
=1/k ∫(0,∞)kxe^(-kx)dkx
=1/k∫(0,∞)te^(-t)dt 令t=kx
= -1/k∫(0,∞)tde^-t
= -1/k[te^-t ∫(0,∞)e^-tdt]
= -1/k(t+1)e^-t |(0,∞)
=1/k
当k=0是 就是0了
当k<0时,
∫(0,∞)kxe^(-kx)dx
=1/k ∫(0,∞)kxe^(-kx)dkx
=1/k∫(0,-∞)te^(-t)dt 令t=kx
= -1/k∫(0,-∞)tde^-t
= -1/k(t+1)e^-t |(0,-∞)
=∞