已知函数y=f（x）对一切非零x满足xf′（x）+3x[f′（x）]2=1-e-x，f′（x0）=0（x0≠0），则（）A．f（x0）是f（x）的极大值B．f（x0）是f（x）的极小值C．（x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐点

Question

已知函数y=f（x）对一切非零x满足xf′（x）+3x[f′（x）]²=1-e^-x，f′（x₀）=0（x₀≠0），则（　　）

A．f（x₀）是f（x）的极大值
B．f（x₀）是f（x）的极小值
C．（x₀，f（x₀））是曲线y=f（x）的拐点
D．f（x₀）不是f（x）的极值，但（x₀，f（x₀））也不是曲线y=f（x）的拐点

Answer 1

由xf′(x)+3x[f′(x)]2=e-x0-e-xf′(x0)=0（x₀≠0），得：

xf′(x)+3x[f′(x)]2=0	①
e-x0-e-xf′(x0)=0	②

根据式子②可得：
f′(x0)=ex-x0＞0，
因此：f（x₀）不是f（x）的极值．
根据式子①，两边对x求导，得：
f′（x）+xf″（x）+3[f′（x）]²+6xf′（x）f″（x）=0
即f″(x)=-(f′(x)[1+3f′(x)])/(x[1+6f′(x)])
而f′（x₀）＞0
∴f″（x₀）≠0
∴（x₀，f（x₀））不是曲线y=f（x）的拐点
故选：D