已知函数f（x）=3x+a与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，则a2+2ab+2ac+4bcb2−2bc+c2的最小值为．

Question

已知函数f（x）=3x+a与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，则(a2+2ab+2ac+4bc)/(b2−2bc+c2)的最小值为______．

Answer 1

∵函数f（x）=3x+a，与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，且f（x）与g（x）均为增函数
∴f（b）=3b+a＜0，即b＜-(a)/(3)，
g（b）=3b+2a＜0，即b＜-(2a)/(3)，
f（c）=3c+a＞0，即c＞-(a)/(3)，
g（c）=3c+2a＞0，即c＞-(2a)/(3)，
∵当a＞0时，a+2b＜0，a+2c＞0，
当a＜0时，a+2b＜0，a+2c＞0，
当a=0时，a+2b＜0，a+2c＞0，
即a+2b＜0，a+2c＞0恒成立，即-a-2b＞0，a+2c＞0恒成立，
∴(a2+2ab+2ac+4bc)/(b2−2bc+c2)
=((a+2b)(a+2c))/((b−c)2)
=((a+2b)(a+2c))/((1)/(4)[(a+2b)−(a+2c)]2)
=(4(a+2b)(a+2c))/([(a+2b)−(a+2c)]2)
=(4(a+2b)(a+2c))/((a+2b)2+(a+2c)2−2(a+2b)(a+2c))
=(4(a+2b)(a+2c))/((a+2b)2+(a+2c)2+2(−a−2b)(a+2c))
≥(4(a+2b)(a+2c))/(4(−a−2b)(a+2c))=-1，
∴(a2+2ab+2ac+4bc)/(b2−2bc+c2)的最小值为-1，
故答案为：-1