在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-1（m>0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线

Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+m-1（m>0）与x轴的交点为A，B．

（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当m=1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵y=mx²-2mx+m-1=m（x-1）²-1，
∴抛物线顶点坐标（1，-1）．
（2）①∵m=1，
∴抛物线为y=x²-2x，
令y=0，得x=0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），
∴线段AB上整点的个数为3个．
②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，
∴点A在（-1，0）与（-2，0）之间（包括（-1，0）），
当抛物线经过（-1，0）时，m=(1)/(4)，
当抛物线经过点（-2，0）时，m=(1)/(9)，
∴m的取值范围为(1)/(9)<m≤(1)/(4)．