（2012•河北模拟）如图，已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，梯形ABCD（AB∥CD∥y轴，|AB|＞|CD|）内接于椭圆C．（I）设F是椭圆的右焦点，E为OF（O为坐标原点）的中点，若直线AB，CD分别经过点E，F，

Question

（2012•河北模拟）如图，已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，梯形ABCD（AB∥CD∥y轴，|AB|＞|CD|）内接于椭圆C．
（I）设F是椭圆的右焦点，E为OF（O为坐标原点）的中点，若直线AB，CD分别经过点E，F，且梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，求椭圆C的离心率；
（II）设H为梯形ABCD对角线的交点，|AB|=2m，|CD|=2n，|OH|=d，是否存在正实数λ使得(m−n)/(d)≤(λb)/(a)恒成立？若成立，求出λ的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）设F（c，0），则E（(c)/(2)，0），D（c，(b2)/(a)），A（(c)/(2)，(b√(4a2−c2))/(2a)）
由题意，梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，则|AE|=|ED|，所以(b2(4a2−c2))/(4a2)＝(c2)/(4)+(b4)/(a2)
化简得2a²=3c²，所以椭圆的离心率e＝(c)/(a)＝(√(6))/(3)；
（II）根据对称性知识，可得H在x轴上，设H（x₀，0），则|x₀|=d
设直线BD的方程为x=ty+x₀，代入椭圆方程，消去x得（a²+b²t²）y²+2x0tb2y+

b2x

2 0

−a2b2=0
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则y₁+y₂=-(2x0tb2)/(a2+b2t2)
由题意，m=|y₁|，n=|y₂|，且y₁，y₂异号
∵m＞n＞0
∴m-n=|y₁+y₂|=|-(2x0tb2)/(a2+b2t2)|=(2d|t|b2)/(a2+b2t2)
∴(m−n)/(d)＝(2|t|b2)/(a2+b2t2)=(2b2)/((a2)/(|t|)|+b2|t|)≤(2b2)/(2ab)＝(b)/(a)
∴存在正实数λ使得(m−n)/(d)≤(λb)/(a)恒成立，且λ的最小值为1．