已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，点F为椭圆的右焦点，点A，B分别为椭圆长轴的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足-1。(Ⅰ)求椭圆C的方程：(Ⅱ)是否存在直线l，当直线l交椭

Question

已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率e= ，点F为椭圆的右焦点，点A，B分别为椭圆长轴的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足 -1。
(Ⅰ)求椭圆C的方程：
(Ⅱ)是否存在直线l，当直线l交椭圆于P，Q两点时，使点F恰为△POM的垂心。若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率e= ，点F为椭圆的右焦点，点A，B分别为椭圆长轴的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足 -1。
(Ⅰ)求椭圆C的方程：
(Ⅱ)是否存在直线l，当直线l交椭圆于P，Q两点时，使点F恰为△POM的垂心。若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

(Ⅰ)根据题意，得 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴椭圆C的方程为 。
(Ⅱ)假设存在直线l满足条件F是三角形MPQ的垂心，
∵k _MF =-1，且FM⊥l，
∴k=1，
∴设直线PQ方程为y=x+m，且设P(x ₁ ，y ₁ )，Q(x ₂ ，y ₂ )，
由 ，消y得， ，
，
且 ，
∴
，
又F为△MPQ的垂心，∴ ，
∴ ，
又 ，
∴
，
∴ ，
∴3m ² +m-4=0，m= ，m=1，满足m ² ＜3，但m=1时P与M点重合，舍去，
∴存在满足条件直线l，其方程为3x-3y-4=0。