椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,焦点到相应准线的距离以及离心率e=根号2/2,直线l与y轴交于p(0,m)若向量OA+λ向量OB=4向量OP,求m的取值范围.设A(X1,Y1)B(X2,Y2)由向量AP=λ向量PB-X1=λX2m-Y1=λ(Y2-m

Question

椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,焦点到相应准线的距离以及离心率e=根号2/2,直线l与y轴交于p(0,m)
若向量OA+λ向量OB=4向量OP,求m的取值范围.
设A(X1,Y1) B(X2,Y2)
由向量AP=λ向量PB
-X1=λX2
m-Y1=λ(Y2-m)
由向量OA+λ向量OB=4向量OP
X1+λX2=0
Y1+λY2=4m
联立以上4式
λ=3
即 X1^2=9X2^2 Y1^2=(4m-3Y2)^2 ①
由椭圆方程
2X1^2+Y1^2=1 2X2^2+Y2^2=1
将①代入解得
2m^2-3mY2+1=0
Y2=(2m^2+1)/3m
由于Y2∈[-1,1]
(2m^2+1)/3m∈[-1,1]
m∈[-1,-1/2]∪[1/2,1] y2的范围为什么是（-1,1）

Answer 1

你题目没抄全吧?— —!感觉还少了个条件“直线L交椭圆于A、B两点吧?”
由条件 焦点到相应准线的距离以及离心率e=根号2/2 可以列式：
1）a²/c － c ＝√2/2 (焦点到相应准线的距离=√2/2 )
2)c/a＝√2/2 (离心率e=√2/2 )
由1）、2)联立可求解a=1
由于焦点在Y轴上,所以椭圆上所有点的Y坐标都小于等于长轴a的值,即[-1,1],又因为直线L与Y轴有一个交点,不重合,所以A、B是取不到椭圆的长轴所对应的两个端点的,因此它们的Y坐标应取开区间,为﹙-1,1﹚.
所以 y2的范围是（-1,1）.